Vektor-Addition

Die Vektoraddition entspricht geometrisch der Aneinanderreihung mehrerer Vektoren.

Vektoraddition

Die Vektoraddition ist eine Aneinanderreihung mehrerer Verschiebungen. Die Vektoraddition

\vec{a_1}+\vec{a_2}

Vektoraddition zweier Vektoren Abb. 1: Vektoraddition
zweier Vektoren
Vektoraddition mehrerer Vektoren Abb. 2: Mehrfache Vektoraddition

bedeutet, dass nach der Verschiebung a1 die Verschiebung a2 durchgeführt wird.

Vektoraddition - Grafisch

Grafisch wird eine Vektoraddition realisiert, indem an die Spitze (Ende) des ersten Vektors der Schaft (Anfang) des zweiten Vektors gesetzt wird (Siehe Abb. 1).

Vektoraddition - Rechnerisch

Rechnerisch kann man mit der Vektoraddition die Gesamtverschiebung ermitteln, indem man die x-Werte und die y-Werte jeweils miteinander addiert.

Mehrfache Vektoraddition

Wie aus Abbildung 2 erkennbar wird können auch mehrere Vektoradditionen durchgeführt werden. In diesem Fall werden die Vektoren der Reihe nach aneinander gereiht. Beim Berechnun müssen nun die x-Werte und y-Werte aller vier Vektoren addiert werden.

Vektoraddition in der Ebene

\begin{align} \vec{a_1} & =\left(\begin{array}{r}3\\5\end{array}\right) \\ \vec{a_2} & =\left(\begin{array}{r}8\\4\end{array}\right) \\ \vec{a_{ges}} & =\vec{a_1}+\vec{a_2}=\left(\begin{array}{r}3\\5\end{array}\right)+\left(\begin{array}{r}8\\4\end{array}\right) \\ \vec{a_{ges}} & = \left(\begin{array}{rrr}3 & + & 8\\5 & + & 4\end{array}\right)=\left(\begin{array}{r}11\\9\end{array}\right) \\ \end{align}

Die allgemeine Formel zur Addition zweier Vektoren in \mathbb{R}^2 lautet:

\vec{a_1}+\vec{a_2}=\left(\begin{array}{r}x_1\\y_1\end{array}\right)+\left(\begin{array}{r}x_2\\y_2\end{array}\right)=\left(\begin{array}{rrr}x_1&+&x_2\\y_1&+&y_2\end{array}\right)

Vektoraddition im Raum

\begin{align} \vec{a_1} & =\left(\begin{array}{r}2\\-1\\3\end{array}\right) \\ \vec{a_2} & =\left(\begin{array}{r}-4\\-3\\2\end{array}\right) \\ \vec{a_{ges}} & =\vec{a_1}+\vec{a_2}=\left(\begin{array}{r}2\\-1\\3\end{array}\right)+\left(\begin{array}{r}-4\\-3\\2\end{array}\right) \\ \vec{a_{ges}} & = \left( \begin{array}{rrr}2 & + & (-4)\\(-1) & + & (-3)\\3 & + & 2\end{array}\right)=\left(\begin{array}{r}-2\\-4\\5\end{array}\right) \\ \end{align}

Die allgemeine Formel zur Addition zweier Vektoren in \mathbb{R}^3 lautet:

\vec{a_1}+\vec{a_2}=\left(\begin{array}{r}x_1\\y_1\\z_1\end{array}\right)+\left(\begin{array}{r}x_2\\y_2\\z_2\end{array}\right)=\left(\begin{array}{rrr}x_1&+&x_2\\y_1&+&y_2\\z_1&+&z_2\end{array}\right)

Kommentar verfassen