Berechnung des vektoriellen Produkts
Hier wird eine einfache Variante zur Berechnung des Kreuzprodukts (vektoriellen Produkts) vorgestellt, für die keine Vorkenntnisse aus dem Bereich der Matrizenrechnung erforderlich sind:
![\vec{a} \times \vec{b} = \begin{pmatrix} a_x \\ a_y \\ a_z \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} b_x \\ b_y \\ b_z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} & a_y b_z & - & b_y a_z & \\ -( & a_x b_z & - & b_x a_z & ) \\ & a_x b_y & - & b_x a_y & \end{pmatrix} \vec{a} \times \vec{b} = \begin{pmatrix} a_x \\ a_y \\ a_z \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} b_x \\ b_y \\ b_z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} & a_y b_z & - & b_y a_z & \\ -( & a_x b_z & - & b_x a_z & ) \\ & a_x b_y & - & b_x a_y & \end{pmatrix}](/media/formulas/0aaef54b976de44c927069929715ddaf.png)
Teilschritte der Berechnung
Da die Formel in ihrer endgültigen Form sehr unübersichtlich zu sein scheint und schwer zu merken ist, stellen wir hier einen einfachen Weg vor, wie man die Teilrechnungen entwickeln kann.
Schritte zur Berechnung einer Zeile:- Um eine Zeile zu berechnen wird exakt diese Zeile abgedeckt
- aus den verbleibenden beiden Zeilen wird überkreuz (wie der Name Kreuzprodukt schon sagt) Produkte gebildet
- und diese Produkte von einander subtrahiert
- Wichtig ist, dass man zuerst von links oben nach rechts unten, dann
- von rechts oben nach links unten multipliziert
- von der kompletten zweiten Zeile wird das Vorzeichen gewechselt
(daher steht diese erneut in einer Klammer mit negativem Vorzeichen)
![Angabe: Man schreibt die Angabe an und lässt genügend Platz, da die Rechnung recht aufwändig wird Kreuzprodukt, Angabe](/media/cache/ae/ca/aecaa9181202921a60ea1eaaad07d9f5.jpg)
![Schritt 1: Erste Zeile abdecken, kreuzweise Produkte subtrahieren Kreuzprodukt, Schritt 1](/media/cache/c5/e9/c5e99a49dd699a8f83b67c6ea104c9e7.jpg)
![Schritt 2: Zweite Zeile abdecken, kreuzweise Produkte subtrahieren Kreuzprodukt, Schritt 2](/media/cache/f6/89/f68938354d41832af89093789e7c7e16.jpg)
![Schritt 3: Dritte Zeile abdecken, kreuzweise Produkte subtrahieren Kreuzprodukt, Schritt 3](/media/cache/bb/f9/bbf94891cec746cb9062b3587fdb67c8.jpg)
![Ergebnis Kreuzprodukt, Ergebnis](/media/cache/c2/fc/c2fcd57eb1672064383da2a33fb659dd.jpg)
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Philipp
Hallo lieber Verfasser!
Vielen Dank für den sehr hilfreichen Artikel! Ich habe nur eine kurze Frage: und zwar, weshalb müssen die Vorzeichen der zweiten Zeile umgetauscht werden?
Vielen Dank und liebe Grüße
Philipp