Potenzfunktion

Ableitungsfunktionen in der Differentialrechnung: Die Potenzfunktion

Ableitungsfunktion für Potenzfunktionen

Für Potenzfunktionen dieser Art

f(x) = x^n

gilt folgende allgemeine Ableitungsfunktion:

Die Ableitung einer Potenzfunktion lautet:

$f'(x) = (x^n)' = n \cdot x^\left(n-1\right)$

Die folgenden drei Beispiele zeigen die Anwendung dieser Ableitungsfunktion an sehr einfachen Potenzfunktionen mit positivem Exponenten:

Beispiel 1

$\begin{align} & f(x)=x^4 \\ & f'(x)=4 \cdot x^3 \\ \end{align}$

Beispiel 2

$\begin{align} & f(x)=3x^7 \\ & f'(x)=7 \cdot 3x^6 = 21x^6 \\ \end{align}$

Beispiel 3

$\begin{align} & f(x)=x^3 + 3x^2-11x+3 \\ & f'(x)=3 \cdot x^2 + 2 \cdot 3x - 11 + 0 \\ \end{align}$

Anmerkung: Man erkennt, dass bei einer Potenzfunktion mit Exponent 1 die Variable wegfällt, da x⁰=1 gilt.

Die hier vorgestelle Ableitungsfunktion ist aber auch für Potenzfunktionen mit negativem Exponenten gültig:

Beispiel 4

$\begin{align} & f(x)=\frac{1}{x^3}=x^{-3} \\ & f'(x)=(x^{-3})'=-3 \cdot x^{-4}=-\frac{3}{x^4} \\ \end{align}$