Vektor-Subtraktion

Auch die Subtraktion von Vektoren kann sowohl rechnerisch als auch grafisch gelöst werden.
Vektorsubtraktion zweier Vektoren Abb. 1: Vektorsubtraktion
zweier Vektoren

Vektorsubtraktion

Die Vektorsubtraktion eines Vektors a2 von einem Vektor a1 ist die Umkehrfunktion zur Vektoraddition. Sie entspricht der Addition des Vektors a2 mit umgekehrter Orientierung.

\vec{a_1}-\vec{a_2}

 

Vektorsubtraktion - Grafisch

Grafisch wird eine Vektorsubtraktion realisiert, indem an die Spitze des ersten Vektors die Spitze des zweiten Vektors gesetzt wird (Siehe Abb. 1).

Vektoraddition - Rechnerisch

Rechnerisch erfolgt die Vektorsubtraktion, indem man die x-Werte und die y-Werte jeweils von einander subtrahiert.

Vektorsubtraktion in der Ebene

\begin{align} \vec{a_1} & = \left(\begin{array}{r}3\\5\end{array}\right) \\ \vec{a_2} & = \left(\begin{array}{r}8\\4\end{array}\right) \\ \vec{a_{ges}} & = \vec{a_1}-\vec{a_2}=\left(\begin{array}{r}3\\5\end{array}\right)-\left(\begin{array}{r}8\\4\end{array}\right) \\ \vec{a_{ges}} & = \left(\begin{array}{r}3-8\\5-4\end{array}\right) = \left(\begin{array}{r}-5\\1\end{array}\right) \\ \end{align}

Die allgemeine Formel zur Subtraktion zweier Vektoren in \mathbb{R}^2 lautet:

\vec{a_1}-\vec{a_2}=\left(\begin{array}{r}x_1\\y_1\end{array}\right)-\left(\begin{array}{r}x_2\\y_2\end{array}\right)=\left(\begin{array}{rrr}x_1&-&x_2\\y_1&-&y_2\end{array}\right)

Vektorsubtraktion im Raum

\begin{align} \vec{a_1} & = \left(\begin{array}{r}2\\-1\\3\end{array}\right) \\ \vec{a_2} & = \left(\begin{array}{r}-4\\-3\\2\end{array}\right) \\ \vec{a_{ges}} & = \vec{a_1}-\vec{a_2}=\left(\begin{array}{r}2\\-1\\3\end{array}\right)-\left(\begin{array}{r}-4\\-3\\2\end{array}\right) \\ \vec{a_{ges}} & = \left(\begin{array}{rrr}2 & - & (-4)\\(-1) & - & (-3)\\3 & - & 2\end{array}\right)=\left(\begin{array}{r}6\\2\\1\end{array}\right) \\ \end{align}

Die allgemeine Formel zur Subtraktion zweier Vektoren in \mathbb{R}^3 lautet:

\vec{a_1}-\vec{a_2}=\left(\begin{array}{r}x_1\\y_1\\z_1\end{array}\right)-\left(\begin{array}{r}x_2\\y_2\\z_2\end{array}\right)=\left(\begin{array}{rrr}x_1&-&x_2\\y_1&-&y_2\\z_1&-&z_2\end{array}\right)

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