Das Volumen (der Rauminhalt) des Kegels

Unter dem Volumen (oder auch Rauminhalt) eines Körpers versteht man den räumlichen Inhalt dieses Körpers.

Umgangssprachlich würde man sagen: all jenes, das in diesen Zylinder hineinpasst (Flüssigkeit, ...)

Das Volumen wird mit V abgekürzt und entspricht in der ebenen Geometrie dem Flächeninhalt.

Herleitung der Formel:

Wir gehen von einen Zylinder und einem Kegel aus, die dieselbe Grundfläche (=Kreis) und dieselbe Höhe besitzen.

Aus dem Kapitel Volumen des Zylinders kennen wir bereits die Formel zur Berechnung des Volumens eines Zylinders:

Das Volumen (der Rauminhalt) des Zylinders:

$V = r^2 \cdot \pi \cdot h$

Umschüttversuch:

Wir füllen nun den Kegel mit Flüssigkeit und schütten diese in den Zylinder mit gleicher Grundfläche und gleicher Höhe.

Diesen Vorgang kann man genau 3 Mal machen bis der Zylinder ganz voll ist.

Das Volumen des Zylinders ist daher 3 Mal so groß wie das Volumen des Kegels.

Oder anders ausgedrückt:

Das Volumen des Kegels ist ein Drittel des Volumens des Zylinders.

Somit müssen wir nur die Volumsformel des Zylinders durch 3 dividieren, um die Volumsformel des Kegels zu erhalten:

$V_\text{Zylinder} = r^2 \cdot \pi \cdot h$

$V_\text{Kegel} = \frac{r^2 \cdot \pi \cdot h}{3}$

Das Volumen (der Rauminhalt) des Kegels:

$V = \frac{G \cdot h}{3}$
$V = \frac{r^2 \cdot \pi \cdot h}{3}$

Volumen = (Grundfläche mal Höhe) : 3

geg.: Kegel: r = 7 cm , h = 12 cm
ges.: V

$V = \frac{r^2 \cdot \pi \cdot h}{3}$

$V = \frac{7^2 \cdot \pi \cdot 12}{3}$

$V = \frac{49 \cdot \pi \cdot 12}{3}$

$V = \frac{588 \cdot \pi}{3}$

$V = 196 \cdot \pi$

$\underline{V = 615,8\ cm^3}$

Kommentar #42332 von Nicki Minaj 28.02.19 09:06 Nicki Minaj: ECHT gute Erklärungen *klatscht*
Kommentar #42732 von Jörn 22.06.19 14:36 Jörn: Die Herleitung des Kegelvolumens durch das dreifache Einschüttens in den Zylinder setzt natürlich voraus, dass man 1/3-Verhältnis bereits kennt. Das ist natürlich keine Herleitung, Erklärung, Begründung o.Ä.
Kommentar #42790 von Franz Maierhuber 31.07.19 17:06 Franz Maierhuber: Das ist zwar eine schön anschauliche Darstellung, aber keine Herleitung!
Kommentar #45826 von Janvi 18.05.21 21:12 Janvi: die Herleitung ist auch für Hauptschüler, der Abiturent müsste das 3 fache Volumen beweisen