Polstellen / Pole einer Funktion

Die Ermittlung von Polstellen einer Funktion ist eine Teilaufgabe der Kurvendiskussion, die wir hier vorstellen.

Unter einer Polstelle einer Funktion f(x) versteht man einen Wert x0, wenn ...

  1. der Wert x0 nicht der Definitionsmenge angehört
  2. und der Limes der Funktion f(x) gegen x0 ins Unendliche (positiv oder negativ) strebt.

Diese Aussage kann man auch mathematisch kompakt zusammenfassen:

x0 ist eine Polstelle (ein Pol) der Funktion f(x)\ \text{mit}\ x \in D_f, wenn
x_0 \notin D_f und \lim\limits_{x \rightarrow x_0}{f(x)} = \pm \infty gilt.
Polstelle, 1/x Beispiel 1

Beispiel: f(x) = 1/x

Diese Funktion hat an der Stelle x = 0 eine Polstelle (in der Abbildung rot strichliert eingezeichnet). Betrachtet man die linke und die rechte Seite unabhängig voneinander, so stellt man fest, dass die linke Seite ins unendlich Positive und die rechte Seite ins unendlich Negative strebt:

\begin{align} \lim\limits_{x \rightarrow 0,\ x < 0}{\frac{1}{x}} & = -\infty \\ \lim\limits_{x \rightarrow 0,\ x > 0}{\frac{1}{x}} & = +\infty \\ \end{align}

Als Faustregel kann man davon ausgehen, dass Pole vorrangig bei rationalen Funktionen anzutreffen sind. Hierbei muss man lediglich den Nenner auf Nullstellen untersuchen.

Beispiel 2: Funktion mit zwei Polstellen

zwei Polstellen Beispiel 2

f(x) = \frac{2x^2 - 7x + 3}{x^2 - 10x + 9}

In diesem Fall untersuchen wir den Nenner auf Nullstellen und erhalten:

\begin{align} x^2 - 10x + 9 & = 0 && \rightarrow \text{kleine Lösungsformel} \\ x_{1,2} & = - \frac{(-10)}{2} \pm \sqrt{\left( \frac{(-10)}{2} \right)^2 - 9} = \\ & = 5 \pm \sqrt{25 - 9} = 5 \pm 4 \\ \end{align}

Das bedeutet, dass die Stellen x1 = 1 und x2 = 9 mögliche Polstellen sind.

Kommentar #48204 von hb9cti 04.12.23 22:28
hb9cti

Einfach erklärt, didaktisch geschickt!

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