Umkehraufgabe zur Oberfläche des Kegels: Berechnung der Mantellinie s

Hier finden Sie eine Formel, wie Sie die Mantellinie s eines Kegels berechnen können, wenn Sie die Oberfläche und seinen Radius kennen.

Berechnung der Mantellinie des Kegels, wenn die Oberfläche und der Radius bekannt sind

Beispiel

Ein Zylinder hat eine Oberfläche von 175,9 cm² und eine Höhe von 4 cm.

Herleitung der Formel

Aus dem Kapitel Oberfläche der Kugel wissen wir bereits, dass sich die Oberfläche des Kegels aus der Summe von Grundfläche (Kreis) und Mantelfläche (Kreisausschnitt) errechnet.

Daraus ergibt sich folgende Formel:

Wiederholung: Oberfläche des Kegels:

Die Oberfläche eines Kegels setzt sich aus der Grundfläche und der Mantelfläche zusammen:

O = G + M
O = r^2 \cdot \pi + r \cdot \pi \cdot s

Nachdem wir allerdings die Oberfläche und den Radius des Zylinders kennen, nicht aber die Mantellinie, müssen wir die Formel so umformen, dass s (die Mantellinie) alleine auf einer Seite steht:

O = r^2 \cdot \pi + r \cdot \pi \cdot s\qquad / - (r^2 \cdot \pi )

O - r^2 \cdot \pi = r \cdot \pi \cdot s\qquad / : ( r\cdot \pi )

\frac{O - r^2 \cdot \pi}{r \cdot \pi} = s

Beispiel (Fortsetzung)

s = \frac{O - r^2 \cdot \pi}{r \cdot \pi}

s = \frac{175,9 - 4^2 \cdot \pi}{4 \cdot \pi}

s = \frac{175,9 - 16 \cdot \pi}{4 \cdot \pi}

s = \frac{175,9 - 50,3}{12,6}

s = \frac{125,6}{12,6}

\underline{s = 10\ cm}

Probe:

O = r^2 \cdot \pi + r \cdot \pi \cdot s

O = 4^2 \cdot \pi + 4 \cdot \pi \cdot 10

O = 16 \cdot \pi + 40 \cdot \pi

O = 56 \cdot \pi

O = 175,9\ cm^2

Antwort:

Der Kegel hat eine Mantellinie von 10 cm.

Berechnung der Mantellinie eines Kegels, wenn Oberfläche und Radius bekannt sind:

s = \frac{O - r^2 \cdot \pi}{r \cdot \pi}

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