Umkehraufgabe zur Oberfläche des Kegels: Berechnung des Radius r

Hier finden Sie eine Formel, wie Sie den Radius r eines Kegels berechnen können, wenn Sie die Oberfläche und seine Mantellinie kennen.

Berechnung des Radius des Kegels, wenn die Oberfläche und die Mantellinie bekannt sind

Beispiel

Ein Kegel hat eine Oberfläche von 175,9 cm² und eine Mantellinie von 10 cm.

Herleitung der Formel

Aus dem Kapitel  wissen wir bereits, dass sich die Oberfläche des Kegels aus der Summe von Grundfläche (Kreis) und Mantelfläche (Kreisausschnitt) errechnet.

Daraus ergibt sich folgende Formel:

Wiederholung: Oberfläche des Kegels:

Die Oberfläche eines Kegels setzt sich aus der Grundfläche und der Mantelfläche zusammen:

O = G + M
O = r^2 \cdot \pi + r \cdot \pi \cdot s

Nachdem wir allerdings die Oberfläche und die Mantellinie des Kegels kennen, nicht aber den Radius, müssen wir die Formel so umformen, dass r (der Radius) alleine auf einer Seite steht:

$$ O = r^2 \cdot \pi + r \cdot \pi \cdot s\qquad / - O \\ \\ 0 = r^2 \cdot \pi + r \cdot \pi \cdot s - O\qquad / : \pi \\ \\ 0 = r^2 + r \cdot s - \frac{O}{\pi} \\ \\ 0 = r^2 + s \cdot r - \frac{O}{\pi} \\ \\ \text{Jetzt liegt eine quadratische Gleichung in Normalform vor.} \\ \text{Diese lässt sich mit der p-q-Formel lösen: } \\ { x }_{ 1,2 }=-\left(\frac{p}{2}\right) \pm \sqrt{\left(\frac{p}{2}\right)^{2}-q} \\ mit \quad p=s \quad und \quad q=-\frac{O}{\pi} \\ \\ { r }_{ 1,2 }=-\left(\frac{s}{2}\right) \pm \sqrt{\left(\frac{s}{2} \right)^{2}-(-\frac{O}{\pi})} \\ r_1=-\frac {s}{2} + \sqrt{\frac{s^2}{4}+\frac{O}{\pi}} \\ r_2=-\frac {s}{2} - \sqrt{\frac{s^2}{4}+\frac{O}{\pi}} \\$$

Beispiel (Fortsetzung)

{ r }_{ 1,2 }=-\left(\frac{s}{2}\right) \pm \sqrt{\left \frac{s^2}{4} \right + \frac{O}{\pi}}

{ r }_{ 1,2 }=-\left(\frac{10}{2}\right) \pm \sqrt{\left \frac{10^2}{4} \right + \frac{175,9}{\pi}}

{ r }_{ 1,2 }=-5 \pm \sqrt{\left \frac{100}{4} \right + \frac{175,9}{\pi}}

{ r }_{ 1,2 }=-5 \pm \sqrt{25 + 56}

{ r }_{ 1,2 }=-5 \pm \sqrt{81}

{ r }_{ 1,2 }=-5 \pm 9

r_1 = -5 + 9 = \underline{4\ cm}
r_2 = -5 - 9 = \underline{-14\ cm}

Da der Radius keine negative Zahl sein kann, ist \underline{r_1 = 4\ cm} die Lösung dieses Beispiels.

Probe:

O = r^2 \cdot \pi + r \cdot \pi \cdot s

O = 4^2 \cdot \pi + 4 \cdot \pi \cdot 10

O = 16 \cdot \pi + 40 \cdot \pi

O = 56 \cdot \pi

O = 175,9\ cm^2

Antwort:

Der Zylinder hat einen Radius von 4 cm.

Berechnung des Radius eines Kegels, wenn Oberfläche und Mantellinie bekannt sind:

r =-\left(\frac{s}{2}\right) + \sqrt{\left \frac{s^2}{4} \right + \frac{O}{\pi}}

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