Umkehraufgaben zur Oberfläche der Kugel: Berechnung des Radius oder des Durchmessers

Berechnung des Radius oder des Durchmessers einer Kugel, wenn die Oberfläche gegeben ist.

Die Oberfläche der Kugel - Umkehraufgaben

Von einer Umkehraufgabe sprechen wir, wenn die Oberfläche der Kugel gegeben und der Radius bzw. der Durchmesser zu berechnen ist.

Man muss nun die Oberflächenformel so umformen, dass man sich die fehlende Größe (den Radius r bzw. den Durchmesser d) berechnen kann.

Beispiel:

Eine Kugel hat eine Oberfläche von 550 cm². Berechne den Radius bzw. den Durchmesser dieser Kugel!

Herleitung der Formeln

Aus dem Kapitel Oberfläche der Kugel wissen wir bereits, dass die Oberfläche der Kugel vier Kreisflächen entspricht.

Daraus ergeben sich folgende Formeln:

Die Oberfläche der Kugel:

Die Oberfläche der Kugel ist 4 Mal so groß wie der Flächeninhalt ihrer Großkreisfläche.

O = 4 \cdot r^2 \cdot \pi

O = d^2 \cdot \pi

1)

Nachdem wir allerdings die Oberfläche der Kugel kennen, nicht aber den Radius, müssen wir die Formel so umformen, dass r (der Radius) alleine auf einer Seite steht:

O = 4 \cdot r^2 \cdot \pi\qquad / : (4 \cdot \pi )

\frac{O}{4 \cdot \pi} = r^2\qquad / \sqrt

\sqrt{\frac{O}{4 \cdot \pi}} = r

2)

Nachdem wir allerdings die Oberfläche der Kugel kennen, nicht aber den Durchmesser, müssen wir die Formel so umformen, dass d (der Durchmesser) alleine auf einer Seite steht:

O = d^2 \cdot \pi\qquad / : \pi

\frac{O}{\pi} = d^2\qquad \sqrt

\sqrt{\frac{O}{\pi}} = d

Beispiel (Fortsetzung)

1) Radius berechnen:

r = \sqrt{\frac{O}{4 \cdot \pi}}

r = \sqrt{\frac{550}{4 \cdot \pi}}

r = \sqrt{\frac{550}{12,6}}

r = \sqrt{43,7}

\underline{r = 6,6\ cm}

2) Durchmesser berechnen:

d = \sqrt{\frac{O}{\pi}}

d = \sqrt{\frac{550}{\pi}}

d = \sqrt{175,1}

\underline{d = 13,2\ cm}

Antwort:

Die Kugel hat einen Radius von 6,6 cm bzw. einen Durchmesser von 13,2 cm.

Berechnung des Radius r bzw. des Durchmessers d einer Kugel, wenn die Oberfläche gegeben ist:

r = \sqrt{\frac{O}{4 \cdot \pi}}

d = \sqrt{\frac{O}{\pi}}

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