3. Binomische Formel

Herleitung der 3. Binomischen Formel: (a + b) . (a - b) = a² - b²

Die 3. Binomische Formel

Herleitung - 1. Möglichkeit:

(a + b) \cdot (a - b) =

= aa - ab + ba - bb =

= a^2 - ab + ab - b^2 =

= a^2 - b^2

Herleitung - 2. Möglichkeit:

Wir berechnen den Flächeninhalt des orangen Rechtecks auf 2 verschiedene Arten. Dazu nehmen wir folgende Seitenlängen an: a = 6 cm , b = 1,5 cm

A_{Quadrat} = s^2

A_{Rechteck} = l \cdot b

Möglichkeit I:
Wir erhalten die Länge des orangen Rechtecks, wenn wir zu der Länge a die Länge b dazurechnen. Die Breite erhalten wir, wenn wir von der Länge a, die Länge b abziehen. Nun berechnen wir den Flächeninhalt:

A = (a + b) \cdot (a - b) =

= (6 + 1,5) \cdot (6 - 1,5) =

= 7,5 \cdot 4,5 =

= 33,75 cm^2

Möglichkeit II
Wir schneiden von unserem Rechteck ein kleineres Rechteck, welches b lang, is ab. Dieses abgeschnittene Rechteck legen wir um 90° gedreht oben auf das Rechteck drauf.

Entstanden ist nun eine Fläche, die fast ein Quadrat ist.

Von der Länge des Rechtecks (a + b) wird b ageschnitten:
(a + b) - b = a +b - b = a
Zur Breite des Rechtecks (a - b) wird b dazugegeben :
(a - b) + b = a - b + b = a

Es entsteht also ein Quadrat mit der Seitenlänge a, aus dem ein kleineres Quadrat mit der Seitenlänge b herausgeschnitten wurde. Wir berechnen den Flächeninhalt also folgendermaßen:
A = a^2 - b^2 = 6^2 - 1,5^2 = 36 - 2,25 = 33,75 cm^2

Zusammenfassung:

Da bei beiden Möglichkeiten dasselbe Ergebnis herauskommt, kann man die beiden Rechenwege gleichsetzen:
(a + b) \cdot (a - b) = a^2 - b^2

3. Binomische Formel:

(a + b) \cdot (a - b) = a^2 - b^2

Beispiel:

(8m + 3n) \cdot (8m - 3n) = 64m^2 - 9n^2

Kommentar #529 von Johannes 06.12.11 17:52
Johannes

Gut erklärt anhand der Geometrie :)
PS : Klammer fehlt bei Möglichkeit I

Kommentar #8180 von Sunny 12.11.13 16:55
Sunny

Und könnstest du das mal bitte in Worte fassen?Das brauch ich.Also wenn man die summe zweier Zahlen...Bittee

Kommentar #9434 von Jan 15.11.14 21:48
Jan

Gute Erklärung, Mathelehrer können das ja manchmal auch nicht sooo gut ;D Dankeschön

Kommentar #10482 von monathan 29.09.15 14:08
monathan

wir finden keine regel zur 3. binomischen formel

Kommentar #10662 von Fliz 15.10.15 17:21
Fliz

Ich glaub meine Mathearbeit ist gerettet;)
Danke

Kommentar #12608 von scoobydoo 16.01.16 19:25
scoobydoo

Gut erklärt aber ich finde die 3. Binomische Formel etwas kompliziert kann die mir jemand vielleicht erklären???
Danke im Vorraus
LG Scoobydoo :D

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