Multiplizieren von Summen und Differenzen

Anleitung zur Multiplikation von Summen und Differenzen, wenn beide Faktoren zweigliedrige Ausdrücke sind.

Multiplizieren von Summen und Differenzen: Beide Faktoren sind zweigliedrige Ausdrücke

Beispiel:

(a + b) \cdot (c + d) =

Geometrische Herleitung der Formel:

Wir berechnen den Flächeninhalt dieser Figur auf 2 verschiedenen Arten:

Möglichkeit 1:

Wir berechnen den Flächeninhalt der gesamten Figur auf einmal:

A = Länge mal Breite

A = (a + b) \cdot (c + d)

Möglichkeit 2:

Wir berechnen die Flächeninhalte der vier unterteilten Flächen und addieren diese:

A = Länge mal Breite

\begin{align} & A_1 = a \cdot c \\ & A_2 = b \cdot c \\ & A_3 = a \cdot d \\ & A_4 = b \cdot d \\ & A = A_1 + A_2 + A_3 + A_4 \\ & A = ac + bc + ad + bd \\ \end{align}

Beide Berechnungen führen zum selben Ergebnis, deshalb kann man die beiden Ergebnisse gleichsetzen:

(a + b) \cdot (c + d) = ac + ad + bc + bd

Multiplikation von Summen, wenn beide Faktoren zweigliedrige Ausdrücke sind:

(a + b) \cdot (c + d) = a \cdot c + a \cdot d + b \cdot c + b \cdot d

Beispiel:

\begin{align} & (3e + 2f) \cdot (4g + 5) = \\ =\ & 3e \cdot 4g + 3e \cdot 5 + 2f \cdot 4g + 2f \cdot 5 = \\ =\ & 12eg + 15e + 8fg + 10f \end{align}

Multiplikation von Summen und Differenzen, wenn beide Faktoren zweigliedrige Ausdrücke sind:

(a + b) \cdot (c - d) = a \cdot c - a \cdot d + b \cdot c - b \cdot d

(a - b) \cdot (c + d) = a \cdot c + a \cdot d - b \cdot c - b \cdot d

(a - b) \cdot (c - d) = a \cdot c - a \cdot d - b \cdot c + b \cdot d

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