Flächeninhalt

Ausführliche Herleitung der Formel zur Berechnung der Fläche eines Tangentenvierecks

Der Flächeninhalt des Tangentenvierecks

Um die Formel für die Berechnung der Fläche eines Tangentenvierecks herleiten zu können, gehen wir von einem Tangentenviereck ABCD mit dem Inkreismittelpunkt I aus.

Die einzelnen Seiten teilen wir durch die Berührungspunkte mit dem Inkreis in jeweils zwei Abschnitte. Die Seite a in die Abschnitte a_1 und a_2 usw.

Wir wissen bereits aus dem vorhergehenden Kapitel, dass bezüglich der Seiten eines Tangentenvierecks folgendes gilt:

a + c = b + d

Verbinden wir nun den Inkreismittelpunkt mit jeweils 2 Eckpunkte, so entstehen folgende Dreiecke:

[ABI], [BCI], [CDI] und [DAI]

Jedes dieser Dreiecke hat dieselbe Höhe, nämlich den Inkreisradius r.

Da a + c = b + d gilt und alle Dreiecke dieselbe Höhe haben, müssen auch die jeweils gegenüberliegenden Dreiecke zusammen die gleiche Fläche aufweisen:

[ABI] + [CDI] = [BCI] + [DAI]

Flächeninhalt eines Dreiecks:

A = \frac{\text{Seite x zugehöriger Höhe}}{2}

Linke Seite:

\begin{align} & [ABI] + [CDI] = \frac{(a_1 + a_2) \cdot r}{2} + \frac{(c_1 + c_2) \cdot r}{2} = \\ & = \frac{(a_1 + a_2 + c_1 + c_2) \cdot r}{2} = \frac{(a + c) \cdot r}{2} \end{align}

Rechte Seite:

\begin{align} & [BCI] + [DAI] = \frac{(b_1 + b_2) \cdot r}{2} + \frac{(d_1 + d_2) \cdot r}{2} = \\ & = \frac{(b_1 + b_2 + d_1 + d_2) \cdot r}{2} = \frac{(b + d) \cdot r}{2} \end{align}

Da wir ja wissen, dass a + c = b + d sind die Ergebnisse beider Seiten also identisch!

Um den Flächeninahlt des gesamten Tangentenvierecks ausrechnen zu können, können wir also eines der beiden Ergebnisse hernehmen und verdoppeln:

A = 2 \cdot \frac{(a + c) \cdot r}{2} =(a + c) \cdot r

Ebenso können wir natürlich auch das andere Ergebnis hernehmen:

A = 2 \cdot \frac{(b + d) \cdot r}{2} =(b + d) \cdot r

Der Flächeninhalt des Tangentenvierecks:

\begin{align} A & = (a + c) \cdot r \\ A & = (b + d) \cdot r \end{align}

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