Lösen von Verhältnisgleichungen

Proportionen (Verhältnisgleichungen)

Eine Verhältnisgleichung (Proportion) erhält man, wenn man zwei Verhältnisse (a : b und c : d) gleichsetzt:

a : b = c : d

Um eine Regel für das Lösen von Proportionen (Verhältnisgleichungen) zu finden, versuchen wir uns in der Umformung zweier Beispiele.

Beispiel 1:

$\begin{align} 4 : 7 & = 8 : 14 \\ \frac{4}{7} & = \frac{8}{14} && \quad / \cdot 7 \\ 4 & = \frac{8 \cdot 7}{14} && \quad / \cdot 14 \\ 4 \cdot 14 & = 8 \cdot 7 \\ \end{align}$

Beispiel 2:

$\begin{align} a : b & = c : d \\ \frac{a}{b} & = \frac{c}{d} && \quad / \cdot b \\ a & = \frac{c \cdot b}{d} && \quad / \cdot d \\ a \cdot d & = c \cdot b \\ \end{align}$

Betrachtet man Angabe und Ergebnis der beide beliebigen Verhältnisgleichungen, so kann man eine Regelmäigkeit erkennen:

Multipliziert man die beiden Aussenglieder, so erhält man dasselbe wie bei der Multiplikation der beiden Innenglieder.

Kurz: Das Produkt der Innenglieder ist gleich dem Produkt der Aussenglieder

Lösen von Verhältnisgleichungen (Proportionen):

Unter einer Verältnisgleichung (Proportion) versteht man eine Gleichung der folgenden Form:
a : b = c : d

a, d ..... Aussenglieder
b, c ..... Innenglieder
$\text{a, b, c, d} \in \mathbb Q$

Produktgleichung der Proportion:
$a \cdot d = b \cdot c$

Der Produkt der Innenglieder ist gleich dem Produkt der Aussenglieder.

Beispiel:

Eine Erbschaft wurde zwischen den Geschwistern Lisa und Sonja im Verhältnis 2 : 3 aufgeteilt. Lisa erhielt 12 640 Euro. Wie viel Euro erhielt Sonja?

$\begin{align} 12\ 640 : x & = 2 : 3 \\ 12\ 640 \cdot 3 & = x \cdot 2 \\ 37\ 920 & = x \cdot 2 && \quad / : 2 \\ 37\ 920 : 2 & = x \\ 18\ 960 & = x \\ \end{align}$

Sonja erhielt bei der Erbschaft 18 960 Euro.

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Kommentar #8302 von riboe 15.12.13 15:45 riboe: beispiel für : a:8,5=0,7:3,4
Kommentar #8372 von Erich Hnilica, BEd 13.01.14 09:47 Erich Hnilica, BEd: Produkt der Innenglieder = Produkt der Außenglieder, also:

a . 3,4 = 8,5 . 0,7
a . 3,4 = 5,95 / : 3,4
a = 1,75
Kommentar #8866 von sara holz 07.05.14 20:01 sara holz: für mich iset es viel zu viel kompliziert
Kommentar #9790 von Manuel 22.03.15 12:04 Manuel: Hat sehr viel geholfen, danke
Kommentar #9792 von Imanuel Abdou 22.03.15 12:05 Imanuel Abdou: Das Beispiel mit den Geschwistern ist ein bisschen kompliziert
Kommentar #9920 von Lol 14.04.15 17:55 Lol: Danke!!
Kommentar #14568 von Mehdy 29.04.16 10:46 Mehdy: Ein Erbschaft wurde zwischen 4 Personen aufgeteilt (6410€), die beide Söhne bekommen Doppel zu Tochter Verhältnis und die Mutter 1/8 bekommt, rechnen Sie wie viel Geld bekommen jede?
Kommentar #37734 von Sami 15.03.17 20:58 Sami: Und wenn das Verhältnis 65:35 ist und es für 30kg berechnen soll
Kommentar #39392 von Marienkäfer2 01.04.17 09:35 Marienkäfer2: Hallo, ich habe eine Frage. Ich kappiere nicht wie es funktionieren soll, das man zwei Brüche mit verschiedenen Nennern mit einer Verhältnisgleichung rechnet. Es it zwar nicht bei Ihren Beispielen dabei, hoffe aber das sie sich damit auskennen. Ich hab am Montag M-SA. bitte
Kommentar #43376 von Flo 02.01.20 14:03 Flo: Wie geht eine Proportion (x+1):x=3:2
Kommentar #43692 von ... 21.03.20 17:36 ...: Hallo könnte jemand mir bitte bei
(x+3)/5:(-5)=(x+5):4/5
helfen? danke <3
(/ ist ein Bruchstrich)
Kommentar #43766 von h 01.04.20 08:38 h: Kann mir jemand bei 3:9=x:(10+x)
helfen?
Kommentar #43900 von Maurice 28.04.20 09:57 Maurice: Wir haben die Aufgabe 5×(x+1/4)=7x-5/2
Kommentar #44760 von Robert Hett 23.11.20 07:30 Robert Hett: eigentlich wiesonicht gkleich beim erstenbeispiel summe durch 3 mal 2 bruchrechen dui ander kanichnicht ganz nachvolzieh versteh den mathematischen weg nicht bitt erklären dank
Kommentar #45044 von Micha 15.01.21 07:12 Micha: Wieso verwundert es mich nicht, dass in dieser GELD-orientierten "Gesellschaft" nur in "bekommen" gerechnet wird? Währe hier nicht ein einfacheres Rechenbeispiel: "Eine TAFEL-Station gibt für 200 hilfbedürftige Bürger preisgünstige Lebensmittel ab. Wieviele TAFEL-Stationen bräuchte man um 1000 hilfsbedürftige Bürger mit preisgünstgem Essen in so einem reichen und doch moralisch so armen Deutschland abgeben zu können?" ---- Ich werde diese Website in den nächten 365 Tagen einmal am Tag besuchen. Was errechnen Sie, wieviel x mal ich meinen Kommentar hier sehen werde? Ich möchte fast wetten: "x=0"
Kommentar #45194 von Jasi 04.02.21 15:03 Jasi: Hey Micha!
a) diese Seite ist Österreichisch ;)

b) 5 TAFEL-Stationen

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Beispiel:

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