Ähnlichkeiten beim rechtwinkligen Dreieck
Beispiel:
Konstruieren Sie ein rechtwinkeliges Dreieck mit der Hypotenuse und dem Winkel
.
(Tipp: Da die Seite c die Hypotenuse unseres rechtwinkeligen Dreieckes ist, ist der gegenüberliegende Winkel Gamma ein rechter Winkel, also )
Zeichnen Sie nun auch die Höhe ein!
(Tipp: die Höhe steht normal auf die Seite und verläuft durch den gegenüberliegenden Eckpunkt)
Beweis 1:
Die Höhe teilt das rechtwinkelige Dreieck in zwei kleinere Dreiecke.
Beweisen Sie, dass diese beiden kleineren Dreiecke zueinander ähnlich sind!
:
Aus der Angabe wissen wir:
Da die Höhe normal auf die Seite steht, gilt:
Die Winkelsumme im Dreieck beträgt 180°, daher gilt:
:
Da die Höhe normal auf die Seite steht, gilt:
Im Eckpunkt C ist laut Angabe ein rechter Winkel, daher gilt:
Die Winkelsumme im Dreieck beträgt 180°, daher gilt:
Vergleich mit
:
Wir versuchen nun gleich große Winkel zu finden:
![\triangle ADC \triangle ADC](/media/formulas/43c5170f2ff6663b0540c3db59e9489f.png)
![\triangle DBC \triangle DBC](/media/formulas/764037512e8f0fca26598cabf4894460.png)
![\triangle ADC \thicksim \triangle DBC \triangle ADC \thicksim \triangle DBC](/media/formulas/8728fe77d4364d78a450677f5695bac1.png)
Beweis 2:
Die Höhe teilt das rechtwinkelige Dreieck in zwei kleinere Dreiecke.
Beweisen Sie, dass das linke der beiden kleinen Dreiecke und das Ausgangsdreieck zueinander ähnlich sind!
:
Aus der Angabe wissen wir:
Da die Höhe normal auf die Seite steht, gilt:
Die Winkelsumme im Dreieck beträgt 180°, daher gilt:
:
Aus der Angabe wissen wir:
Am Beginn haben wir bereits herausgefunden, dass Gamma ein rechter Winkel ist, also:
Die Winkelsumme im Dreieck beträgt 180°, daher gilt:
Vergleich mit
:
Wir versuchen nun gleich große Winkel zu finden:
![\triangle ADC \triangle ADC](/media/formulas/43c5170f2ff6663b0540c3db59e9489f.png)
![\triangle ABC \triangle ABC](/media/formulas/635759e23aaf6e02541e3b72d65268d0.png)
![\triangle ADC \thicksim \triangle ABC \triangle ADC \thicksim \triangle ABC](/media/formulas/155b09b44af094a375c43c4927b25e40.png)
Beweis 3:
Die Höhe teilt das rechtwinkelige Dreieck in zwei kleinere Dreiecke.
Beweisen Sie, dass das rechte der beiden kleinen Dreiecke und das Ausgangsdreieck zueinander ähnlich sind!
:
Da die Höhe normal auf die Seite steht, gilt:
Im Eckpunkt C ist laut Angabe ein rechter Winkel, daher gilt:
Die Winkelsumme im Dreieck beträgt 180°, daher gilt:
:
Aus der Angabe wissen wir:
Am Beginn haben wir bereits herausgefunden, dass Gamma ein rechter Winkel ist, also:
Die Winkelsumme im Dreieck beträgt 180°, daher gilt:
Vergleich mit
:
Wir versuchen nun gleich große Winkel zu finden:
![\triangle DBC \triangle DBC](/media/formulas/764037512e8f0fca26598cabf4894460.png)
![\triangle ABC \triangle ABC](/media/formulas/635759e23aaf6e02541e3b72d65268d0.png)
![\triangle DBC \thicksim \triangle ABC \triangle DBC \thicksim \triangle ABC](/media/formulas/410cce4bc426f7d1d0846a748dabd267.png)
Unterteilt man das rechtwinklige Dreieck
![\triangle ABC \text{ durch die Höhe } h_c \triangle ABC \text{ durch die Höhe } h_c](/media/formulas/f865a3b182e3eddd1d45c0f3b46fa760.png)
![(\triangle ADC , \triangle DBC) (\triangle ADC , \triangle DBC)](/media/formulas/c22c795ea2221e88cdbeccca39f845d7.png)
![\begin{align}
& \text{die beiden kleineren Dreiecke sind zueinander ähnlich: } \\
& (\triangle ADC \thicksim \triangle DBC) \\
& \text{jedes der beiden kleineren Dreiecke ist dem Ausgangsdreieck ähnlich: } \\
& (\triangle ADC \thicksim \triangle ABC und \triangle DBC \thicksim \triangle ABC)
\end{align} \begin{align}
& \text{die beiden kleineren Dreiecke sind zueinander ähnlich: } \\
& (\triangle ADC \thicksim \triangle DBC) \\
& \text{jedes der beiden kleineren Dreiecke ist dem Ausgangsdreieck ähnlich: } \\
& (\triangle ADC \thicksim \triangle ABC und \triangle DBC \thicksim \triangle ABC)
\end{align}](/media/formulas/e2b095791782664cd659eaae6803798a.png)
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