Ähnlichkeiten beim rechtwinkeligen Dreieck

Ähnlichkeiten beim rechtwinkligen Dreieck

Beispiel:

Konstruieren Sie ein rechtwinkeliges Dreieck mit der Hypotenuse $c = 6\ cm$ und dem Winkel $\alpha = 60^\circ$ .

(Tipp: Da die Seite c die Hypotenuse unseres rechtwinkeligen Dreieckes ist, ist der gegenüberliegende Winkel Gamma ein rechter Winkel, also $\gamma = 90^\circ$ )

Zeichnen Sie nun auch die Höhe h_c ein!

(Tipp: die Höhe steht normal auf die Seite und verläuft durch den gegenüberliegenden Eckpunkt)

Beweis 1:

Die Höhe h_c teilt das rechtwinkelige Dreieck in zwei kleinere Dreiecke.

Beweisen Sie, dass diese beiden kleineren Dreiecke zueinander ähnlich sind!

$\triangle ADC$ :

Aus der Angabe wissen wir: $\alpha_1 = 60^\circ$

Da die Höhe normal auf die Seite steht, gilt: $\beta_1 = 90^\circ$

Die Winkelsumme im Dreieck beträgt 180°, daher gilt: $\gamma_1 = 180^\circ - 60^\circ - 90^\circ = 30^\circ$

$\triangle DBC$ :

Da die Höhe normal auf die Seite steht, gilt: $\alpha_2 = 90^\circ$

Im Eckpunkt C ist laut Angabe ein rechter Winkel, daher gilt: $\gamma_2 = 90^\circ - \gamma_1 = 90^\circ - 30^\circ = 60^\circ$

Die Winkelsumme im Dreieck beträgt 180°, daher gilt: $\beta_2 = 180^\circ - 90^\circ - 60^\circ = 30^\circ$

Vergleich $\triangle ADC$ mit $\triangle DBC$ :

Wir versuchen nun gleich große Winkel zu finden:

$\begin{align} & \alpha_1 = \gamma_2 \\ & \beta_1 = \alpha_2 \\ & \gamma_1 = \beta_2 \end{align}$

Die die beiden Dreiecke $\triangle ADC$ und $\triangle DBC$ in allen 3 Winkeln übereinstimmen, sind sie zueinander ähnlich!

$\triangle ADC \thicksim \triangle DBC$

Beweis 2:

Die Höhe h_c teilt das rechtwinkelige Dreieck in zwei kleinere Dreiecke.

Beweisen Sie, dass das linke der beiden kleinen Dreiecke und das Ausgangsdreieck zueinander ähnlich sind!

$\triangle ADC$ :

Aus der Angabe wissen wir: $\alpha_1 = 60^\circ$

Da die Höhe normal auf die Seite steht, gilt: $\beta_1 = 90^\circ$

Die Winkelsumme im Dreieck beträgt 180°, daher gilt: $\gamma_1 = 180^\circ - 60^\circ - 90^\circ = 30^\circ$

$\triangle ABC$ :

Aus der Angabe wissen wir: $\alpha = 60^\circ$

Am Beginn haben wir bereits herausgefunden, dass Gamma ein rechter Winkel ist, also: $\gamma = 90^\circ$

Die Winkelsumme im Dreieck beträgt 180°, daher gilt: $\beta = 180^\circ - 60^\circ - 90^\circ = 30^\circ$

Vergleich $\triangle ADC$ mit $\triangle ABC$ :

Wir versuchen nun gleich große Winkel zu finden:

$\begin{align} & \alpha_1 = \alpha \\ & \beta_1 = \gamma \\ & \gamma_1 = \beta \end{align}$

Die die beiden Dreiecke $\triangle ADC$ und $\triangle ABC$ in allen 3 Winkeln übereinstimmen, sind sie zueinander ähnlich!

$\triangle ADC \thicksim \triangle ABC$

Beweis 3:

Die Höhe h_c teilt das rechtwinkelige Dreieck in zwei kleinere Dreiecke.

Beweisen Sie, dass das rechte der beiden kleinen Dreiecke und das Ausgangsdreieck zueinander ähnlich sind!

$\triangle DBC$ :

Da die Höhe normal auf die Seite steht, gilt: $\alpha_2 = 90^\circ$

Im Eckpunkt C ist laut Angabe ein rechter Winkel, daher gilt: $\gamma_2 = 90^\circ - \gamma_1 = 90^\circ - 30^\circ = 60^\circ$

Die Winkelsumme im Dreieck beträgt 180°, daher gilt: $\beta_2 = 180^\circ - 90^\circ - 60^\circ = 30^\circ$

$\triangle ABC$ :

Aus der Angabe wissen wir: $\alpha = 60^\circ$

Am Beginn haben wir bereits herausgefunden, dass Gamma ein rechter Winkel ist, also: $\gamma = 90^\circ$

Die Winkelsumme im Dreieck beträgt 180°, daher gilt: $\beta = 180^\circ - 60^\circ - 90^\circ = 30^\circ$

Vergleich $\triangle DBC$ mit $\triangle ABC$ :

Wir versuchen nun gleich große Winkel zu finden:

$\begin{align} & \alpha_2 = \gamma \\ & \gamma_2 = \alpha \\ & \beta_2 = \beta \end{align}$

Die die beiden Dreiecke $\triangle DBC$ und $\triangle ABC$ in allen 3 Winkeln übereinstimmen, sind sie zueinander ähnlich!

$\triangle DBC \thicksim \triangle ABC$

Ähnlichkeiten beim rechtwinkligen Dreieck:

Unterteilt man das rechtwinklige Dreieck $\triangle ABC \text{ durch die Höhe } h_c$ in zwei kleinere Dreiecke $(\triangle ADC , \triangle DBC)$ , so gilt:

$\begin{align} & \text{die beiden kleineren Dreiecke sind zueinander ähnlich: } \\ & (\triangle ADC \thicksim \triangle DBC) \\ & \text{jedes der beiden kleineren Dreiecke ist dem Ausgangsdreieck ähnlich: } \\ & (\triangle ADC \thicksim \triangle ABC und \triangle DBC \thicksim \triangle ABC) \end{align}$

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