Umkehraufgabe zur Oberfläche des Zylinders: Berechnung der Höhe h

Hier finden Sie eine Formel, wie Sie die Höhe h eines Zylinders berechnen können, wenn Sie die Oberfläche und seinen Radius kennen.

Berechnung der Höhe des Zylinders, wenn die Oberfläche und der Radius bekannt sind

Beispiel

Ein Zylinder hat eine Oberfläche von 351,9 cm² und einen Radius von 4 cm.

Herleitung der Formel

Aus dem Kapitel Oberfläche des Zylinders wissen wir bereits, dass sich die Oberfläche des Zylinders aus der Summe von Grundfläche, Deckfläche (2 gleich große Kreise) und der Mantelfläche (Rechteck) errechnet.

Daraus ergibt sich folgende Formel:

Oberfläche des Zylinders:

Die Oberfläche eines Zylinders setzt sich aus der Grundfläche, der Deckfläche und der Mantelfläche zusammen:

$O = 2 \cdot G + M$
$O = 2 \cdot r^2 \cdot \pi + 2 \cdot r \cdot \pi \cdot h$

Nachdem wir allerdings die Oberfläche und den Radius des Zylinders kennen, nicht aber die Höhe, müssen wir die Formel so umformen, dass h (die Höhe) alleine auf einer Seite steht:

$O = 2 \cdot r^2 \cdot \pi + 2 \cdot r \cdot \pi \cdot h\qquad / - ( 2 \cdot r^2 \cdot \pi )$

$O - 2 \cdot r^2 \cdot \pi = 2 \cdot r \cdot \pi \cdot h\qquad / : ( 2 \cdot r \cdot \pi )$

$\frac{O - 2 \cdot r^2 \cdot \pi}{2 \cdot r \cdot \pi} = h$

Beispiel (Fortsetzung)

$h = \frac{O - 2 \cdot r^2 \cdot \pi}{2 \cdot r \cdot \pi}$

$h = \frac{351,9 - 2 \cdot 4^2 \cdot \pi}{2 \cdot 4 \cdot \pi}$

$h = \frac{351,9 - 32 \cdot \pi}{8 \cdot \pi}$

$h = \frac{251,4}{25,1}$

$\underline{h = 10\ cm}$

Probe:

$O = 2 \cdot r^2 \cdot \pi + 2 \cdot r \cdot \pi \cdot h$

$O = 2 \cdot 4^2 \cdot \pi + 2 \cdot 4 \cdot \pi \cdot 10$

$O = 32 \cdot \pi + 80 \cdot \pi$