Länge der Diagonale f einer Raute (eines Rhombus) berechnen

Die Diagonalen teilen die Raute in 4 gleich große rechtwinkelige Dreiecke, wodurch sich die Länge der Diagonale f mit Hilfe des Lehrsatzes des Pythagoras herleiten lässt.

Die Länge der Diagonale f einer Raute (eines Rhombus) berechnen

Die Formel zur Berechnung der Länge der Diagonale f in einer Raute (in einem Rhombus) lässt sich mit Hilfe des herleiten.

Wir konstruieren beide Diagonalen und können erkennen, dass diese die Raute in vier gleich große rechtwinklige Dreiecke teilen. Zur Herleitung der Formel konzentrieren wir uns auf eines der gleich großen Dreiecke und wenden hier den Lehrsatz des Pythagoras an.

Herleitung der Formel:

Die längste Seite zum Quadrat ist gleich der Summe der zweiten Seite zum Quadrat und der dritten Seite zum Quadrat:

$a^2 = \left ( \frac{e}{2}\right )^2 + \left ( \frac{f}{2}\right )^2$

Zuerst muss die Formel so umgeformt werden, dass $\left ( \frac{f}{2}\right )^2$ alleine auf einer Seite steht. Dazu subtrahieren wir auf beiden Seiten $\left ( \frac{e}{2}\right )^2$ :

$a^2 = \left ( \frac{e}{2}\right )^2 + \left ( \frac{f}{2}\right )^2\qquad / - \left ( \frac{e}{2}\right )^2$

$a^2 - \left ( \frac{e}{2}\right )^2 = \left ( \frac{f}{2}\right )^2$

Nun vertauschen wir zur besseren Ansicht beide Seiten:

$\left ( \frac{f}{2}\right )^2 = a^2 - \left ( \frac{e}{2}\right )^2$

Im nächsten Schritt wird die Wurzel gezogen:

$\left ( \frac{f}{2}\right )^2 = a^2 - \left ( \frac{e}{2}\right )^2\qquad / \sqrt$

Abschließend wird noch mit 2 multipliziert, um den Bruch aufzulösen:

$\frac{f}{2} = \sqrt{a^2 - \left ( \frac{e}{2}\right )^2}\qquad / \cdot 2$

$f = 2 \cdot \sqrt{a^2 - \left ( \frac{e}{2}\right )^2}$

Die Länge der Diagonale f einer Raute (eines Rhombus) berechnen:

Die Diagonalen teilen die Raute in 4 gleich große rechtwinkelige Dreiecke, wodurch sich die Länge der Diagonale f mit Hilfe des Lehrsatzes des Pythagoras herleiten lässt:

$e = 2 \cdot \sqrt{a^2 - \left ( \frac{f}{2}\right )^2}$

Beispiel:

geg.: Raute: a = 17 cm , e = 30 cm

ges.: f

$f = 2 \cdot \sqrt{a^2 - \left ( \frac{e}{2}\right )^2}$

$f = 2 \cdot \sqrt{17^2 - \left ( \frac{30}{2}\right )^2}$

$ef= 2 \cdot \sqrt{17^2 - 15^2}$