Das Volumen (der Rauminhalt) der quadratischen Pyramide

Das Volumen (der Rauminhalt) der quadratischen Pyramide wird berechnet, indem man die Grundfläche mit der Höhe multipliziert und durch 3 dividiert.

Das Volumen (der Rauminhalt) der quadratischen Pyramide

Unter dem Volumen (oder auch Rauminhalt) eines Körpers versteht man den räumlichen Inhalt dieses Körpers.

Umgangssprachlich würde man sagen: all jenes, das in diese Pyramide hineinpasst (Flüssigkeit, ...)

Das Volumen wird mit V abgekürzt und entspricht in der ebenen Geometrie dem Flächeninhalt.

Herleitung der Formel:

Wir gehen von einen Quader und einer Pyramide aus, die dieselbe Grundfläche (=Quadrat) und dieselbe Höhe besitzen.

Aus dem Kapitel Volumen des Quaders kennen wir bereits die Formel zur Berechnung des Volumens eines Quaders:

Das Volumen (der Rauminhalt) des Quaders:

V = G \cdot h
V = a \cdot b \cdot h

Volumen = Grundfläche (Rechteck) mal Höhe

Umschüttversuch:

Wir füllen nun die Pyramide mit Flüssigkeit und schütten diese in den Quader mit gleicher Grundfläche und gleicher Höhe.

Diesen Vorgang kann man genau 3 Mal machen bis der Quader ganz voll ist.

Das Volumen des Quaders ist daher 3 Mal so groß wie das Volumen der Pyramide.

Oder anders ausgedrückt:

Das Volumen der Ppyramide ist ein Drittel des Volumens des Quaders.

Somit müssen wir nur die Volumsformel des Quaders durch 3 dividieren, um die Volumsformel der Pyramide zu erhalten:

V_\text{Quader} = G \cdot h = a \cdot b \cdot h = a \cdot a \cdot h = a^2 \cdot h

V_\text{Pyramide} = \frac{G \cdot h}{3} = \frac{a \cdot a \cdot h}{3} = \frac{a^2 \cdot h}{3}

Das Volumen (der Rauminhalt) der quadratischen Pyramide:

V = \frac{G \cdot h}{3}
V = \frac{a^2 \cdot h}{3}

Volumen = (Grundfläche mal Höhe) : 3

Beispiel:

geg.: quadratische Pyramide: a = 7 cm , h = 10 cm
ges.: V

V = \frac{a^2 \cdot h}{3}

V = \frac{7^2 \cdot 10}{3}

V = \frac{49 \cdot 10}{3}

V = \frac{490}{3}

\underline{V = 163,3\ cm^3}

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