Quadrat und Rechteck - mit 2 unterschiedlichen Größen

Sind 2 Größen unterschiedlich, so ist das Aufstellen einer Gleichung nicht so einfach. Die beiden Größen können nur dann miteinander verglichen werden, wenn man die Waage (Gleichung) ins Gleichgewicht gebracht hat. azubiworld

Beispiel:

Die beiden Seiten eines Rechtecks unterscheiden sich 5 cm voneinander.

Verkürzt man die Länge um 4 cm und verlängert man die Breite um 3 cm, so ist der Flächeninhalt des neues Rechtecks um 20cm² kleiner als der Flächeninhalt des ursprünglichen Rechtecks.

Berechnen Sie die Seitenlängen der beiden Rechtecke!

Als Unbekannte (Variable) verwenden wir in diesem Beispiel den Buchstaben x!

Flächeninhalt von Rechteck und Quadrat:

Seite mal Seite

1) Rechteck 1:
Breite: b_1 = x
Länge: l_1 = x + 5
Flächeninhalt: A_1 = x \cdot (x + 5)

2) Rechteck 2:
Die Breite ist um 3 cm länger, also x + 3:
Breite: b_1 = x + 3
Die Länge ist um 4 cm kürzer als (x + 5), daher (x + 5) - 4 = x + 5 - 4 = x + 1
Länge: b_2 = x + 1
Flächeninhalt: A_2 = (x + 3) \cdot (x + 1)

3) Aufstellen der Gleichung:
Da die beiden Flächeninhalte der Rechtecke unterschiedlich groß sind, kann man die beiden Flächeninhalte nicht sofort mit einem =Zeichen miteinander vergleichen.
A_2 ist um 20cm² kleiner als A_1, daher muss man entweder A_2 um 20cm² vergrößern oder A_1 um 20 cm² verkleinern, damit die Gleichung im Gleichgewicht ist.
Wir verkleinern A_1 um 20 cm²:
x \cdot (x + 5) - 20 = (x + 3) \cdot (x + 1)

4) Lösen der Gleichung:

Ausmultiplizieren der Klammern:
x^2 + 5x - 20 = x^2 + 3x + 1x + 3

Zusammenfassen gleicher Variablen:
x^2 + 5x - 20 = x^2 + 4x + 3

x² kommt auf beiden Seiten der Gleichung vor, kann also weglassen werden:
5x - 20 = 4x + 3

Wir bringen die 4x auf die andere Seite der Gleichung:
5x - 20 = 4x + 3 \qquad / - 4x

Abschließend bringen wir die Zahl -20 auf die andere Seite der Gleichung:
1x - 20 = 3 \qquad / + 20

Endergebnis:
\underline{x = 23}

5) Antwort:

Rechteck 1:
b = x = 23 cm
l = x + 5 = 23 + 5 = 28 cm

Rechteck 2:
l = x + 3 =  23 + 3 =  26 cm
b = x + 1 =  23 + 1 =  24 cm

Quadrat und Rechteck - mit 2 unterschiedlichen Größen:

Sind 2 Größen unterschiedlich, so ist das Aufstellen einer Gleichung nicht so einfach.
Die beiden Größen können nur dann miteinander verglichen werden, wenn man die Waage (Gleichung) ins Gleichgewicht gebracht hat. (siehe 3.)

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