Textgleichungen zur Raute

Sind 2 Größen unterschiedlich, so ist das Aufstellen einer Gleichung nicht so einfach. Die beiden Größen können nur dann miteinander verglichen werden, wenn man die Waage (Gleichung) ins Gleichgewicht gebracht hat. azubiworld

Textgleichungen zur Raute

Beispiel:

Eine Diagonale einer Raute ist um 4 cm länger als die andere Diagonale. Verlängert man die kürzere Diagonale um 5 cm und verkleinert die längere Diagonale um 2 cm, so entsteht eine neue Raute mit einem um 8 cm² größeren Flächeninhalt.

Berechnen Sie die Länge der Diagonalen der beiden Rauten!

Als Unbekannte (Variable) verwenden wir in diesem Beispiel den Buchstaben x!

Flächeninhalt der Raute:

A = \frac{e \cdot f}{2}

(Diagonale mal Diagonale) dividiert durch 2

1) Raute 1:
Diagonale e: e_1 = x
Diagonale f: e_2 = x+ 4
Flächeninhalt: A_1 = \frac{x \cdot (x + 4)}{2}

2) Raute 2:
Die Diagonale e ist um 5 cm länger, also x + 5:
Breite: e_2 = x + 5
Die Diagonale f ist um 2 cm kürzer als (x + 4), daher (x + 4) - 4 = x + 4 - 2 = x + 2
Länge: f_2 = x + 2
Flächeninhalt: A_2 = \frac{(x + 5) \cdot (x + 2)}{2}

3) Aufstellen der Gleichung:
Da die beiden Flächeninhalte der Rauten unterschiedlich groß sind, kann man die beiden Flächeninhalte nicht sofort mit einem =Zeichen miteinander vergleichen.
A_2 ist um 8 cm² größer als A_1, daher muss man entweder A_2 um 8 cm² vergkleinern oder A_1 um 8 cm² vergrößern, damit die Gleichung im Gleichgewicht ist.
Wir verkleinern A_1 um 8 cm²:
\frac{x \cdot (x + 4)}{2} + 8 = \frac{(x + 5) \cdot (x + 2)}{2}

4) Lösen der Gleichung:

Beide Seiten mit 2 multiplizieren:
\frac{x \cdot (x + 4)}{2} + 8 = \frac{(x + 5) \cdot (x + 2)}{2} \qquad / \cdot 2

Ausmultiplizieren der Klammern:
x \cdot (x + 4) + 16 = (x + 5) \cdot (x + 2)

Zusammenfassen gleicher Variablen:
x^2 + 4x + 16 = x^2 + 5x + 2x + 10

x² kommt auf beiden Seiten der Gleichung vor, kann also weglassen werden:
x^2 + 4x + 16 = x^2 + 7x + 10 \qquad / -x^2

Wir bringen die 4x auf die andere Seite der Gleichung:
4x + 16 = 7x + 10 \qquad / - 4x

Anschließend bringen wir die Zahl 10 auf die andere Seite der Gleichung:
16 = 3x + 10 \qquad / -10

Nun noch durch 3 dividieren:
6 = 3x \qquad / : 3

Endergebnis:
\underline{x = 2}

5) Antwort:

Raute 1:
e = x = 2 cm
f = x + 4 = 2 + 4 = 6 cm

Raute 2:
e = x + 5 =  2 + 5 =  7 cm
f = x + 2 =  2 + 2 =  4 cm

Textgleichungen zur Raute - mit 2 unterschiedlichen Größen:

Sind 2 Größen unterschiedlich, so ist das Aufstellen einer Gleichung nicht so einfach.
Die beiden Größen können nur dann miteinander verglichen werden, wenn man die Waage (Gleichung) ins Gleichgewicht gebracht hat. (siehe 3.)

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